正多面体我们非常熟悉,比如一些结晶体就是特殊的多面体,它们的每个面都是全等的正多 面形,由此我们得到正多边形的定义:
每个面都全等,且每个立体角都全等的多边体就是正多面体
补充:如下就是以A为顶点的立体角
(资料图)
欧拉公式
令E为多面体的棱数,V表示顶点数,F表示面数,则有以下式子成立:
E=V+F-2
证明:若只有一个面,则
若有两个面,则
若有三个面(如下图)
此时,必有2条或3条棱4个顶点重合,因此,增加的棱数比顶点数多1。故下式成立:
当填加第F个面时,面的棱和顶点都会与其他的面重合;故:
正多面体只有5个?是的,这个问题看似很简单,只要用顶点度数合小于360。(这里存在不严谨的地方,即用一种多边形到底可以得到几种多面体)但是这里给出另一种答案
设多面体每个面边数为m,F个面有mF条棱,则
设多面体每个顶点上的多面角有n条棱,V个顶点有nV条棱,则
带入欧拉公式,得
由于多面角的面角合为小于360,若用正三角形拼则只有三,四,五面角
所以,当m=3时,若n=3,E=6,F=4
n=4,E=12,F=8
n=5,E=30,F=20
当用的面为正方形时,m=4,n=3得E=12,F=6
当用的面为正五边形时,m=5,n=3得E=30,F=12
分析上面的数据后,我们可以只有5个正多面体了,其实这是很有趣的,不是吗?
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